Lietuvos futbolo žaidėjas ir treneris. Žaidė Lietuvos rinktinėje, 2001-2003 metais buvo rinktinės kapitonas. 2010 m. pradžioje paskirtas vyriausiuoju Lietuvos rinktinės treneriu.
Profesionalią karjerą pradėjo 1991 metais Gargždų Bangoje, kuri tuo metu rungtyniavo antrojoje Lietuvos futbolo pakopoje. 1992 metais futbolininkas perėjo į Mažeikių ROMAR, su kuriuo 1993-1994 metų sezone tapo Lietuvos čempionu. 1994-1995 metų sezoną R. Žutautas pradėjo ROMAR, tačiau vėliau perėjo į aukščiausioje Lietuvos futbolo pakopoje debiutavusią Gargždų „Bangą“ ir padėjo gimtojo miesto klubui išlikti Lietuvos futbolo klubų elite. 1995-1996 metų sezoną R.Žutautas vėl pradėjo Mažeikių ROMAR, tačiau šiam klubui sezono pradžioje bankrutavus, perėjo į Klaipėdos „Aro“ komandą (darartinis „Atlantas“), o sezono viduryje persikėlė į Kauno „Inkarą-Grifą“. Kauno klube R. Žutautas rungtyniavo iki 1997 metų pradžios, kai perėjo į Rusijos Premjer lygos Vladikaukazo „Alaniâ“ klubo komandą. Rusijoje futbolininkas praleido du su puse sezono, o 1999 metų viduryje persikėlė į Haifos „Maccabi“. Su šiuo klubu R. Žutautas du kartus tapo Izraelio čempionu. 2003 metų viduryje futbolininkas pasirašė sutartį su Atėnų „Panathinaikos“, 2004 metais su šiuo klubu R.Žutautas tapo Graikijos čempionu bei laimėjo Graikijos taurę. 2004 metų liepos mėnesį R. Žutautas patyrė sunkią kelio raiščių traumą, po kurios baigė profesionalaus futbolininko karjerą.
R.Žutautas dukart dalyvavo UEFA Čempionų lygos grupių etape: 2002-2003 metais su Maccabi Haifa, 2003-2004 metų su Panathinaikos FC. UEFA Čempionų lygoje R. Žutautas pasižymėjo įspūdingu įvarčiu į Mančesterio „United“ vartus 2002 metų spalio 29 d. rungtynėse, kuriose „Maccabi“ įveikė savo varžovus 3:0.
Rungtyniaudamas Gargždų Bangoje 1995 metais R. Žutautas buvo pakviestas į Lietuvos rinktinę. Rinktinėje debiutavo 1995 m. gegužės 17 d. draugiškose rungtynėse su Graikija. Paskutinį kartą rinktinės gretose R. Žutautas pasirodė 2003 m. birželio 11 d. Europos čempionato atrankos rungtynėse su Islandija. Iš viso per devynerius metus (1995-2003) R. Žutautas Lietuvos rinktinės garbę gynė 40 kartų, įmušė 1 įvartį, paskutinius trejus metus buvo rinktinės kapitonas.
2002 metais R. Žutautas buvo išrinktas geriausiu Lietuvos futbolininku.
2005 metų liepos mėnesį R. Žutautas tapo FK Alaniâ Vladikavkaz vyriausiojo trenerio Itzhak Shum asistentu, tačiau dirbo tik iki tų pačių metų spalio.
2006 metų pradžioje R.Žutautas tapo vienu iš viešosios įstaigos „Gargždų futbolas“, kuriai priklauso Gargždų Banga, dalininkų.
2008 m. pradėjo žaisti SFL A divizione Prelegentų komandoje.